Question

f(x)=|x|sin|x|,在[-∏,∏]上是否满足罗尔定理的所有条件?如满足,请求出定理

怎么求导，X分正负情况

Answer 1

当x∈[0，π]时，有：

f(x)=|x|·sin|x|=x·sinx

当x∈[-π，0]时，有：

f(x)=|x|·sin|x|=(-x)·sin(-x)=(-x)·(-sinx)=x·sinx

即，函数f(x)=|x|·sin|x|在整个定义域[-π，π]区间内等价于f(x)=x·sinx

因此，该函数满足罗尔定理的条件要求。

根据导数运算法则：(uv)'=uv'+u'v，则有：

f'(x)=(x·sinx)'=x'·sinx+x·(sinx)'=sinx+x·cosx

在[-π，π]区间内，有：当x=0时，f'(x)=0。

另外还有两个点也满足f'(x)=0，但用初等函数解不出来，变换如下：

f'(x)=sinx+x·cosx=0

则：sinx=-x·cosx

即：tanx=-x

我们在坐标系内作y=tanx和y=-x的图形，在[-π，π]区间内有三个交点，如下图：