Question

已知数列的通项为1/（n∧2）,求其前n项和.？

Answer 1

1＋1/2＋1/3＋ …＋1/n→π/6 这个首先是由欧拉推出来的,要用到泰勒公式,属于大学范围 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 将sinx按泰勒级数展开：sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋… 于是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋… 令y＝x^2,有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋… 而方程sinx＝0的根为0,±π,±2π,… 故方程sin√y/√y＝0的根为π,(2π),… 即1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…＝0的根为π,(2π),… 由韦达定理,常数项为1时,根的倒数和＝一次项系数的相反数 即1/π＋1/(2π)＋…＝1/3!故1＋1/2＋1/3＋ …＝π/6 1/2＋1/3＋ …=π/6-1,3,