Question

高一上集合题目，求大神，谢谢

Answer 1

(1)对于任意的x∈M,则f(x)=x,∴f[f(x)]−x=f(x)−x=0；
即任意的x∈M，都有x∈N，∴M⊆N；
若设0∈N,设f(x)=x2+bx+c,f(0)=c,f[f(0)]=f(c)=c(c+b+1)，可以让c+b+1=0，而c≠0；
即f[f(0)]=0,而f(0)≠0，∴0∉M；
∴M⊊N；
(2)证明：设x1∈M,x1∈N,x2∈N,f(x2)=t；
则：f[f(x2)]−x2=0,即f(t)−x2=0,f(t)=x2；
∵M是单元素集合,所以x1是方程：f(x)−x=x2+(b−1)x+c=0的唯一实根；
令g(x)=x2+(b−1)x+c,则该函数值域为[0,+∞),只有x=x1时,g(x)=0；
则由f(x2)=t得,x22+bx2+c=t,∴x22+(b−1)x2+c=t−x2>0,即t>x2；
由f(t)=x2得,t2+bt+c=x2,∴t2+(b−1)t+c=x2−t⩾0,即x2⩾t；
∴t>x2和x2⩾t不可能,即x2∉N,即M,N都只有一个元素x1；
∴M=N.