Question

椭圆面积公式如何推导

Answer 1

问题一：椭圆面积公式是怎么推导出来的？ 利用定积分算出来的.
椭圆x2/a2+y2/b2=1是中心对称和轴对称,每一个象限的面积都相同,所以可以先算第一象限的面积,再乘以4.
设x2/a2+y2/b2=1在第一象限内确定了一个函数y=f(x),则该区域面积可表示为
∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]ydx
由椭圆的参数方程,y=bsint,x=acost,(0≤t≤π/2)得dx=-asintdt
当x从0变到1时,t从π/2变到0
∴∫[0,1]ydx=∫[π/2,0]bsint*(-asintdt)
=-ab∫[π/2,0]sin2tdt
=ab∫[0,π/2]sin2tdt
=ab(x/2-1/4*sin2x)|[0,π/2]
=ab[(π/4-1/4*sinπ)-(0-1/4*sin0)]
=abπ/4
∴S椭圆=4∫[0,1]ydx=πab

问题二：椭圆的面积公式，怎么推导出来的 1.仿射变换法
其实从椭圆方程可知，椭圆是一个被“压缩”了的圆。
设椭圆方程为：(x/a)^2+(y/b)^2=1
令：x'=x，y'=y*a/b，
我们就可以在新的坐标系中得到一个圆：x'^2+y'^2=a^2
新坐标系其实是一个在y方向等比（比例为a/b）拉长了的坐标系，这样在新坐标系得到面积 S=π*a^2后，再乘以比例b/a后得到：S=π*a*b 就是所求答案
2.积分
取第一象限部分，y=SQR（b^2-b^2x^2/a^2）,积分从0到a，换元t=x/a， 得S/4=ab∫（0，1）SQR（1-t^2）dt,根据积分的几何意义，所求的积分为1/4单位圆的面积，得证S=πab
看到以上2种方法，有些惭愧，但还是写下了我的推导方法，原理跟第二种方法类似，前提是圆的面积公式和积分定理，如下
在坐标系X0Y中，作圆：x'^2+y'^2=a^2 ，和焦点在X轴的椭圆：(x/a)^2+(y/b)^2=1 （椭圆的长轴长与圆的直径相等）
先将上2个方程换成第一，二象限用Y关于X的解释式
半圆：g(x)=SQR(a^2-x^2) 半椭圆：h(x)=SQR（b^2-b^2x^2/a^2）=(b/a)SQR(a^2-x^2)
令f(x)=g(x)-h(x)=(1-b/a)(a^2-x^2),积分从-a到a得∫(-a,a)f(x)dt=(1-b/a)∫(-a,a)g(x) (积分的性质）
由圆的面积易知∫(-a,a)g(x)=0.5*πa^2
则∫(-a,a)f(x)dt=（1-b/a)(0.5*πa^2)
（∫(-a,a)f(x)dt表示在第一，二象限圆的面积减去椭圆的面积）
那么椭圆在第一，二象限的面积就等于0.5*πa^2-（1-b/a)(0.5*πa^2) =0.5πab
那么椭圆的总面积S=2*0.5πab=πab，得证

问题三：椭圆形面积公式是什么？是怎么推导的？ 面积公式
??（其中??分别是椭圆的长半轴、短半轴的长），或?（其中??分别是椭圆的长轴，短轴的长）。