Question

设函数f(x)=x-1/x-alnx（a∈R）．讨论函数f(x)的单调性？

Answer 1

定义域（0,+∞）
求导得f'(x)=1+ 1/x² -a/x =(x²-ax+1)/x²
然后根据x²-ax+1的正负情况确定单调性
令h(x)=x²-ax+1
这是一个过定点（0,1）开口向上的抛物线
对称轴是x=a/2
(1)当a/2≤0或△≤0 即a≤2时,h(x)在（0,+∞）恒大于等于0
此时f(x)在（0,+∞）是增函数
(2)当a/2>0且△>0 即a>2时
h(x)=0的两根是[a±√(a²-4)]/2
作出h(x)的草图,由图可知
f(x)在(0,[a-√(a²-4)]/2)和([a+√(a²-4)]/2,+∞)是增函数
在(a-√(a²-4)]/2,a+√(a²-4)]/2)是减函数,3,f ’（x）=1+1/x²-a/x=（x²-ax+1）/x²=（（x-a/2）²+1-a²/4）/x²
当-2<=a>=2 1-a²/4>0时，即 f ‘ （x）>=0 此时 f（x）单调递增
当 a<-2或a>2时 f ’ （x）=（x-a/2-##）（x-a/2+##）/x² ...,2,