什么是最大公约数

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最普遍的介绍:

最大公因数,也称最大公约数、最大公因子,指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

a,b的最大公约数记为(a,b),同样的,a,b,c的最大公约数记为(a,b,c),多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法,常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数,a,b的最小公倍数记为[a,b]。

【拓展资料】

一、基本概念及举例说明:

1、如果数a能被数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系,不能单独存在。

举例:只能说16是某数的倍数,2是某数的约数,而不能孤立地说16是倍数,2是约数。

2、“倍”与“倍数”是不同的两个概念,“倍”是指两个数相除的商,它可以是整数、小数或者分数。“倍数”只是在数的整除的范围内,相对于“约数”而言的一个数字的概念,表示的是能被某一个自然数整除的数。

3、几个整数中公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。

举例:12、16的公约数有1、2、4,其中最大的一个是4,4是12与16的最大公约数,一般记为(12,16)=4。12、15、18的最大公约数是3,记为(12,15,18)=3。

4、几个自然数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个自然数,叫做这几个数的最小公倍数。

举例:4的倍数有4、8、12、16,??,6的倍数有6、12、18、24,??,4和6的公倍数有12、24,??,其中最小的是12,一般记为[4,6]=12。12、15、18的最小公倍数是180。记为[12,15,18]=180。若干个互质数的最小公倍数为它们的乘积的绝对值。

二、最大公约数的常见求法

1、质因数分解法

思路:把每个数分别分解质因数,再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘,所得的积就是这几个数的最大公约数。

举例:假设我们求24和60的最大公约数。

第一步:分解24和60。

24=2X2X2X3

60=2X3X2X5

第二步:24和60的最大公约数=24和60共有的公因子相乘,即2X2X3=12。

2、短除法

思路:短除法求最大公约数,先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所有的商互质为止,然后把所有的除数连乘起来,所得的积就是这几个数的最大公约数。

短除法的本质就是质因数分解法,只是将质因数分解用短除符号来进行。

举例:

12的因数有:1、2、3、4、6、12。

18的因数有:1、2、3、6、9、18。

12与18的公因数有:1、2、3、6。

12与18的最大公因数是6。

3、更相减损法

思路:

第一步:任意给定两个正整数;判断它们是否都是偶数。若是,则用2约简;若不是则执行第二步。

第二步:以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

举例:

用更相减损术求98与63的最大公约数。

由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减:

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以,98和63的最大公约数等于7。

4、辗转相除法

用较小数除较大数,再用出现的余数(第一余数)去除除数,再用出现的余数(第二余数)去除第一余数,如此反复,直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数,那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。

举例:

求(319,377):

∵ 319÷377=0(余319)

∴(319,377)=(377,319);

∵ 377÷319=1(余58)

∴(377,319)=(319,58);

∵ 319÷58=5(余29)

∴ (319,58)=(58,29);

∵ 58÷29=2(余0)

∴ (58,29)= 29;

∴ (319,377)=29。

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