Question

空间几何证明 急！

点P是平面ABC外一点 且AP垂直于面ABC若 O Q 分别为三角形ABC与三角形PBC垂心求证OQ垂直于平面PCB

Answer 1

设PQ垂直BC于H，那么AO垂直BC于H，并且BC垂直于平面PAH，所以OQ垂直于BC。
下面证OQ垂直于PH。容易发现三角形AHB和三角形CHO相似，于是HO HA=HB HC。类似，HQ HP=HB HC。所以三角形HOQ与三角形HPA相似，所以OQ垂直于PH。

Answer 2

设AB=AC=AD=x
∵AB,AC,AD两两垂直
∴BC=BD=CD=√(x2+x2)=√2x
S△ABC=S△ACD=S△ABD=(1/2)x2
∴△BCD是等边三角形,∠BCD=60°
∴S△BCD=(1/2)BC×CDsin∠BCD=(1/2)×√2x×√2x×(√3/2)=√3x2/2
∵S△ABC2＋S△ACD2＋S△ABD2=(x2/2)2+(x2/2)2+(x2/2)2=3x^4/4, S△BCD2=(√3x2/2)2=3x^4/4
∴S△ABC2＋S△ACD2＋S△ABD2＝S△BCD2