证明1/√1*2+1/√2*3+…… +1/√n*(n+1)
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证明：∵n（n-1）+1>2√[n(n-1)]
∴n^2+n>n+2√[n(n-1)]+n-1=[√n+√(n-1)]^2
∴√[n(n+1)]>√n+√(n-1)
∴1/√[n*(n+1)]<1/[√n+√(n-1)]=√n-√(n-1)
∴1/√1*2+1/√2*3+…… +1/√n*(n+1)<√1-√0+√2-√1+.+√n-√(n-1)=√n
∴1/√1*2+1/√2*3+…… +1/√n*(n+1)<√n成立
∴n^2+n>n+2√[n(n-1)]+n-1=[√n+√(n-1)]^2
∴√[n(n+1)]>√n+√(n-1)
∴1/√[n*(n+1)]<1/[√n+√(n-1)]=√n-√(n-1)
∴1/√1*2+1/√2*3+…… +1/√n*(n+1)<√1-√0+√2-√1+.+√n-√(n-1)=√n
∴1/√1*2+1/√2*3+…… +1/√n*(n+1)<√n成立
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