Question

勾股定理的5种证明方法 要有图

Answer 1

证法1
作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过点C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED,∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c,∴ ABEG是一个边长为c的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理,HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S,则 a^2+b^2=c^2
证法2
作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP‖BC,交AC于点P.过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ,垂足为N.∵ ∠BCA = 90°,QP‖BC,∴ ∠MPC = 90°,∵ BM⊥PQ,∴ ∠BMP = 90°,∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°,∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,∴ ∠QBM = ∠ABC,又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2
证法3
作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c.再作一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,∴FI=a,∴G,I,J在同一直线上,∵CJ=CF=a,CB=CD=c,∠CJB = ∠CFD = 90°,∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,∴∠ABG +∠CBJ= 90°,∵∠ABC= 90°,∴G,B,I,J在同一直线上,a^2+b^2=c^2
证法4
作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结 BF、CD.过C作CL⊥DE,交AB于点M,交DE于点L.∵ AF = AC,AB = AD,∠FAB = ∠GAD,∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,∵ ΔFAB的面积等于,ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半,∴ 矩形ADLM的面积 =.同理可证,矩形MLEB的面积 =.∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ 即a^2+b^2=c^2