线性相关的向量组一定是无关的吗?
一定。
设a,b是两个非零的正交向量,则ab=0
若存在k1,k2 使得k1a+k2b=0
则0=(k1a+k2b)a=k1a^2+k2ab=k1a^2 得k1=0
0=(k1a+k2b)b=k2b^2+k1ab=k2b^2 得k2=0
所以 a,b线性无关。
例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0),(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关;但(2, −1, 1),(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关,因为第三个是前两个的和。
对于任一向量组而言,,不是线性无关的就是线性相关的。向量组只包含一个向量a时,a为0向量,则说A线性相关;若a≠0, 则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性相关的。含有相同向量的向量组必线性相关。
当用有向线段表示向量时,起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.同向且等长的有向线段都表示同一向量。
始点不固定的向量,它可以任意的平行移动,而且移动后的向量仍然代表原来的向量。在自由向量的意义下,相等的向量都看作是同一个向量。
扩展资料:
线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关 。三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。n+1个n维向量总是线性相关。
抽象意义上的向量不一定以数对表示,大小和方向的概念亦不一定适用。在三维向量空间中, 两个向量的内积如果是零, 那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的向量分析。 换句话说, 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。
实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量,记作λa,且|λa|=|λ|*|a|
当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0,方向任意。当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当 |λ| >1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的|λ|倍
当|λ|<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的 |λ|倍。
实数p和向量a的点乘乘积是一个数。
数与向量的乘法满足下面的运算律:
结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律: 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
需要注意的是:向量的加减乘(向量没有除法)运算满足实数加减乘运算法则。
参考资料来源:百度百科——线性相关