Question

求算式2016个1乘2016个1，乘积的各位数字之和

Answer 1

分析：

111 = (1000-1)/9 = (10^3-1)/9

1111 = (10000-1)/9 = (10^4-1)/9

所以，2016 个 1 组成的大整数可以表示为：A = (10^2016-1)/9

A*A = (10^2016-1)^2 / 9^2

= (10^4032-2*10^2016+1) / 81

= (10^4032-10^2016)/81 - (10^2016-1)/81

= 10^2016*(10^2016-1)/81 - (10^2016-1)/81

= A/9*10^2016 - A/9

A 是 2016个1构成的大整数，各位数字之和是2016，为9的倍数，因此，A/9 为正整数

用长除法：

A/9 = 0123456790123456790...12345679，首位补 0，224 个循环节 012345679

A/9*10^2016 - A/9

= (012345679...012345679*10^2016-10^2016) + (10^2016-1-012345679...012345679+1)

= (012345679...012345678*10^2016) + (999999999...999999999 - 012345679...12345678)

= (012345679...012345678*10^2016) + (987654320...987654321)

计算各位数字之和：

前一个括号内是 224 组 012345679 减去 1，和为 37*224-1 = 8287

其后是 2016 个 0，与第二个括号的 2016 位数不重叠 

后一个括号内是 224 组 987654320 加上 1，和为 44*224+1 = 9857

两者合计为 8287+9857 = 18144

因此，乘积的各位数字之和是 18144

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可以编程进行验证，结果完全一致。

附：fortran 代码及其运算结果：

Answer 2