Question

高中函数题目

（1）已知道上面内容，求函数的解析式
（2）如何由函数y=2sinx的图像通过适当的变换得到函数f(x)的图像，写出变换过程
（3）若f(a/2)=4/5,0<a<π/3，求cosa的值
（4）若g(x)=f(x)-2sin(x+π/6)+1,求当函数g(x)取得最大值时，自变量x的集合，函数g(x)的单调增区间。
说明一下，图片中的内容为已知内容，是点 （π/6，1），中间那个是5π/12

Answer 1

(1)由图像可见，函数f(x)=Asin(ωx+α)，从π/6到5π/12为1/4周期

A=F(π/6)=1, f(5π/12)=0

∴T=4*(5π/12-2π/12)=π，ω=2π/T=2

则f(x)=sin(2x+α)

函数的起始零点为π/6-π/4=-π/12

f(-π/12)=sin(-π/6+α)=0

-π/6+α=0==>α=π/6

∴函数f(x)=sin(2x+π/6)

(2) 函数y=2sinx

第一步：纵坐标缩小1/2，变为y=sinx；

第二步：横坐标缩小1/2，变为y=sin2x；

第三步：横坐标左移π/12，变为y=sin[2(x+π/12)]=sin(2x+π/6)

从而得到f(x)=sin(2x+π/6)；

(3) ∵f(a/2)=4/5,0<a<π/3

∴sin(a+π/6)=4/5

即√3sina+cosa=8/5==>sina=(8/5-cosa)/√3

代入(sina)^2+(cosa)^2=1

得4(cosa)^2-16/5cosa-11/25=0

解得cosa=(2+√27)/10,负值舍去

(4) g(x)= sin(2x+π/6)-2sin(x+π/6)+1

G’(x)=2cos(2x+π/6)-2cos(x+π/6)=0

有点不好算，画出其图像：

Answer 2

解析：∵T/4=5π/12-π/6=π/4,
∴ T=2π/ω=π,∴ω=2
由图知A=2*1=2,
∴f(x)=2sin(2x+φ)
当x=π/6,y=1,
∴2sin(π/3+φ)=1
则π/3+φ=2kπ+π/6,
∴φ=2kπ-π/6,
令k=0,φ=-π/6,
∴f(x)=2sin(2x-π/6)
由函数y=2sinx的图像通过①纵坐标不变，横坐标向右平移π/12个单位，②纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1/2倍，得到函数f(x)的图像，
∵f(a/2)=4/5,0<a<π/3
∴2sin(a-π/6)=4/5
即√3sina-cosa=4/5
联立(sina)^2+(cosa)^2=1
解得cosa=(√63-2)/10,负值舍去
g(x)=f(x)-2sin(2x+π/6)+1
=2sin(2x-π/6)-2sin(2x+π/6)+1
=-4cos2xsin(π/6)+1
=-2cos2x+1
∴[g(x)]max=3
2x=2kπ+π,k∈Z
∴x=kπ+π/2,k∈Z
单调递增区间为2kπ≤2x≤2kπ+π,
即kπ≤x≤kπ+π/2,
∴单调递增区间为[kπ,kπ+π/2],其中k∈Z。
4小题好像有点错误，少了个2，不然会复杂很多。