Question

如图，已知AB是圆O的直径，AC切圆O于点A，CB交圆O与D，DE切圆O于D，BE⊥DE，垂足为E，BD=10，

DE、BE是方程x²-2（m+2）x+2m²-m+3=0的2个根（DE＜BE)，求AC的长。

Answer 1

韦达定理：关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两根x1，x2满足

x1+x2=-b/a，x1•x2=c/a

设x²-2（m+2）x+2m²-m+3=0的2个根x1，x2（x1＜x2）DE=x1，BE=x2

所以x1+x2=-b/a=2m+4 

x1•x2=c/a=2m²-m+3

x1²+x2²

=(x1+2x1•x2+x2²)-2x1•x2

=(x1+x2)²- 2x1•x2

=(2m+4)²-2•(2m²-m+3)

=4m²+16m+16-4m²+2m-6

=18m+10

∵Rt△BDE中，BD=10

∴BD²=DE²+BE²=x1²+x2²

∴18m+10=100

m=5

再代入原方程得x²-14x+48=0

(x-6)(x-8)=0

x1=6，x2=8

即DE=6，BE=8

连接AD，设圆心为O

∴∠DAB=∠EAD（弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角）

∴∠ADB=½∠AOB=90°（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）

∴∠ADB=∠DEB=90°

在△ADB与△DEB中

∠ADB=∠DEB

∠DAB=∠EDB

∴△ADB∽△DEB（有两个角对应相等的三角形是相似三角形）

∴∠ABD=∠EBD

∴DB：AB=EB：DB

∴10：AB=6：10

∴AB=50/3

在△ABC与△EBD中

∠ABC=∠EBD

∠BAC=∠BED=90°

∴△ABC∽△EBD（有两个角对应相等的三角形是相似三角形）

∴AB：AC=EB：ED

∴50/3：AC=8：6

∴AC=25/4

【图在上传中请稍等】

Answer 2

1L正解!