Question

设数列{an}满足a1=2，an+1=an+3•2n-1．？

Answer 1

解题思路：（1）累加法：注意验证n=1的情形；
（2）表示出b n，然后利用分组求和得，S n=3[（1•2 0+2•2 1+3•2 2+…+n•2 n-1）-（1+2+3+…+n）]，令x=1•2 0+2•2 1+3•2 2+…+n•2 n-1，运用错位相减法可得x，代入S n即可；
（3）由 a n ＝3× 2 n−1 −1 可得c n，利用裂项相消法可化简 1 c 2 c 3 + 1 c 3 c 4 +…+ 1 c n c n+1 ，由其结果可得证；
（1）∵a1=2，an+1-an=3•2n-1，
∴an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=2+3×20+3×21+3×22+…+3×2n-2
=2+3（20+21+22+…+2n-2）
=2+3×
1(1-2n-1)
1-2=3×2n-1-1（n≥2），
经验证n=1也成立，∴an=3×2n-1-1；
（2）bn=nan=3n×2n-1-n，
b1=3×1•20-1，b2=3×2•21-2，b3=3×3•22-3，…，bn=3n•2n-1-n，
∴Sn=3[（1•20+2•21+3•22+…+n•2n-1）-（1+2+3+…+n）]，
设x=1•20+2•21+3•22+…+n•2n-1①，则2x=1•21+2•22+3•23+…+n•2n②，
①-②得，-x=1+21+22+23+…+2n-1-n•2n
=1+
2(1-2n-1)
1-2-n•2n=-1+（1-n）•2n，
∴x=（n-1）2n+1，
∴Sn=3[（n-1）2n+1-
n(n+1)
2]，
∴Sn=(3n-3)•2n-
3
2n(n+1)+3；
（3）∵an=3×2n-1-1；
∴=log22n-1=n-1，
[1
c2c3+
1
c3c4+…+
1
+1=
1/1×2+
1
2×3+…+
1
(n-1)n]
=1-[1/2+
1
2-
1
3]+…+
1
n-1-
1
n=1-[1/n]<1．
,10, 设数列{a n}满足a 1=2，a n+1=a n+3•2 n-1．
（1）求数列{a n}的通项公式a n；
（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n；
（3）令c n=log 2 a n +1 3 ，证明： 1 c 2 c 3 + 1 c 3 c 4 +…+ 1 c n c n+1 <1（n≥2）．