Question

y=2cos(2x-π/6)取得最大值,最小值时自变量x的集合,并写出最大值和最小值？

Answer 1

首先，我们知道 cos(x) 在 [-1,1]之间取值，因此 2 cos(x)是在 [-2,2]之间取值。由于 y = 2 cos (2x - pi/6)，所以 y 的取值范围也是 [-2,2]。这意味着 y 的最大值和最小值都是 2 和 -2。

至于自变量 x 的取值集合，我们可以分类讨论：

• 当 y=2 时，cos (2x - pi/6) = 1，这意味着 2x - pi/6 = 0, 2 pi, 4 pi, 等等。这组解对应的 x 的取值集合为 pi/12, 5pi/12, 9pi/12,等等。

• 当 y=-2时，cos (2x - pi/6) = -1，这意味着 2x - pi/6 = pi/2, 5pi/2, 9pi/2, 等等。这组解对应的 x 的取值集合为 pi/6, 7pi/6, 13pi/6, 等等。

因此，当 y取到其最大值 2 或最小值 -2 时，自变量 x 的取值集合分别为 

pi/12, 5pi/12, 9pi/12, …… 和 pi/6, 7pi/6, 13pi/6, ……。

Answer 2

函数y=2cos(2x-π/6)的最大值和最小值取决于2x-π/6的值域。因为cos(θ)的值域在[-1,1]之间，所以y的值域在[-2,2]之间。
观察函数y=2cos(2x-π/6)，当2x-π/6的值在[0,π]之间时，y的值从正值开始减小；当2x-π/6的值在[π,2π]之间时，y的值从负值开始增大。因此，当2x-π/6的值在[0,π]之间时，y的最大值为2，最小值为-2；当2x-π/6的值在[π,2π]之间时，y的最大值为2，最小值为-2。
所以，当2x-π/6的值在[0,π]之间时，x的集合为{x|0≤x≤π/2}，y的最大值为2，最小值为-2；当2x-π/6的值在[π,2π]之间时，x的集合为{x|π/2<x≤π}，y的最大值为2，最小值为-2。
注意：这里的解法假设了2x-π/6的值在[0,2π]之间。如果2x-π/6的值超出了这个范围，那么可以通过加减2π的倍数来将它移动到[0,2π]之间，然后再计算。