Question

如图所示，Rt三角形中，角C=90°，AC=12，BC=5,点M在AB边上，且AM=6。

(1)动点D在AC边上运动，且与点A、C均不重合，设CD=x。
①设△ABC与△ADM的面积之比为y，求y与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
②当x取何值时，△ADM是等腰三角形？写出你的理由。
（2）如图②，以图①中的BC、CA为一组邻边的矩形ACBE中，动点D在矩形上运动一周，能使△ADM是以角AMD为顶角的等腰三角形共有多少个？（直接写出结果）
急

Answer 1

明显AB=13
△AMD以AD底的高h=5*6/13=30/13
△AMD面积=(12-x)*30/13
△ABC面积=30
y=30/{(12-x)*30/13}=13/(12-x)

Answer 2

：（1）①∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，
∴S△ABC=30，AB=13，
过M作MH⊥AC于H，则MH∥BC，
∴MHBC=
AMAB，
∴MH=3013，
∵CD=x，
∴AD=12-x，
∴S△ADM=1513（12-x），
∴y=2612-x（0＜x＜12）；

②（i）当AD=AM=6，即x=6时，△ADM为等腰三角形；
（ii）当AM=MD时，AD=2AH．
∴AH=AM2-MH2=7213，
∴AD=14413，
即x=12-14413=1213时，△ADM为等腰三角形；
（iii）当AD=MD时，，
∵AD=12-x，AH=7213，
∴HD=7213-（12-x）=x-8413，
∵MH2+HD2=MD2，
∴（3013）2+（x-8413）2=（12-x）2，
解得：x=354时，△ADM为等腰三角形．

（2）4个．
（根据题意，以M为圆心，MA=6为半径作圆，与AC、AE、BE三边共有包括A点在内的5个交点，所以符合条件的等腰三角形共有4个）