Question

一个三角形角的平分线和中线重合，证明这个三角形是等腰三角形

请详细点，最好列出证明

Answer 1

结果为三角形是等腰三角形。

解析：利用三角形全等来证明，不要把问题看得那么复杂。角平分线平分的那两个角相等，中线所分对边的两条边相等，还有一个公共边。这3个条件就可以证明两个三角形全等，全等那对应的那两条边就相等，就是等腰三角形。

解题过程如下：

已知：AD为⊿ABC的高和中线。

求证:AB=AC。

证明：作DE垂直AB于E，DF垂直AC于F。

∵AD平分∠BAC。

∴DE=DF。

又AD为中线，即BD=CD。

∴Rt⊿BDE≌Rt⊿CDF(HL),∠B=∠C。

故AB=AC。(等角对等边)。

所以是等腰三角形。

等腰三角形的性质：

1、等腰三角形的重心、中心和垂心都位于顶点向底边的垂线上。该线也是底的垂直平分线及中线，以及顶角的角平分线。

2、等腰三角形有一条对称轴，可以把等腰三角形分成两个全等的直角三角形。

3、等边三角形是底边和腰等长的等腰三角形，是等腰三角形的一个特殊形式。若等腰三角形的顶角为直角，称为等腰直角三角形。

4、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

7、等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

Answer 2

已知△ABC中，AD是角平分线和中线
求证：△ABC是等腰三角形
证明：
作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F
∵AD是角平分线
∴DE=DF
∵BD=CD，∠BED=∠BFD=90°
∴△BDE≌△CDF
∴∠B=∠C
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形

Answer 3

设△ABC中，AE平分∠BAC，AE是BC边上的中线
证明：在AE的延长线上取点D，使AE＝DE，连接CD
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE＝∠CAE
∵AE是BC边上的中线
∴BE＝CE
∵AE＝DE，∠AEB＝∠DEC
∴△ABE≌△DCE
（SAS）
∴∠D＝∠BAE，CD＝AB
∴∠D＝∠CAE
∴CD＝AC
∴AB＝AC
∴等腰△ABC
命题得证

Answer 4

已知:AD为⊿ABC的高和中线.
求证:AB=AC.
证明:作DE垂直AB于E,DF垂直AC于F.
∵AD平分∠BAC.
∴DE=DF;
又AD为中线,即BD=CD.
∴Rt⊿BDE≌Rt⊿CDF(HL),∠B=∠C.
故AB=AC.(等角对等边)

Answer 5

等腰三角形 “三线合一”定理 平分线 中线 高线重合（两个也行） 此三角形是等腰三角形！！1