Question

根号2-1的2022次方乘根号2+1得2023次方？

Answer 1

首先，计算根号2-1的2022次方，可以利用二项式定理进行展开，得到：

(根号2-1)^2022 = C(2022, 0)*(根号2)^2022 * (-1)^0 + C(2022, 1)*(根号2)^2021 * (-1)^1 + ... + C(2022, 2022)*(根号2)^0* (-1)^2022

因为每一个二项式的展开都会包括根号2的偶次幂和奇次幂，所以展开后每一项都会有一个根号2的整数次幂和一个带有符号的整数。为了表示简洁，我们用a、b、c等代替带有符号的整数，于是展开结果就变成了：

(根号2-1)^2022 = a*(根号2)^2 + b*(根号2) + c

其中，a、b、c都是整数。

同理，计算根号2+1的2023次方的展开式，可以得到：

(根号2+1)^2023 = A*(根号2)^2 + B*(根号2) + C

其中，A、B、C也都是整数。

将以上两个展开式相乘：

(根号2-1)^2022 * (根号2+1)^2023 = (a*(根号2)^2 + b*(根号2) + c) * (A*(根号2)^2 + B*(根号2) + C)

根据根号2的幂次归纳公式：(根号2)^2 = 2，展_

Answer 2

我们可以将根号2-1记为a，那么：
a的2022次方 = (根号2 - 1)的2022次方
根据二项式定理展开可以发现(a+b)的n次方含有(n+1)项，并且很多项同在a或b上的指数相同，于是我们可以选择取其中一项来展开，通常我们选择第一项a的n次方作为展开项。展开后的结果为：
(a+b)的n次方 = C(n,0)*a的n次方 + C(n,1)*a的(n-1)次方b + C(n,2)*a的(n-2)次方b平方 + ... + C(n,n)*b的n次方
其中C(n,m)为组合数，表示从n个不同元素中选取m个的方案数。
回到题目中，根据二项式定理，可以得到：
(根号2+1)的2023次方 = [(a+2)的一半 + 1]的2023次方
= C(2023,0)*(a+2)的1011次方 + C(2023,1)*(a+2)的1010次方 + ... + C(2023,2023)
又因为a的2022次方 = (a+2)的1011次方，所以上式中的每一项实际上能够写成a的2022次方的一些倍数乘以(b+1)^k的形式，其中b为2的一半，k为小于等于2023的自然数。于是该式可_