已知函数y=sinx+cosx,求y的最大值最小值和最小正周期
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我们可以先将 y=sin(x)+cos(x) 改写成一个三角函数的形式。为此,我们可以引入一个变量 t,使得:
y = √2(sin(x+π/4))
因此,y 的最大值为 √2,当 sin(x+π/4)=1 时取到,即 x = π/4 + 2kπ,其中 k 为任意整数;y 的最小值为 -√2,当 sin(x+π/4)=-1 时取到,即 x = 5π/4 + 2kπ,其中 k 为任意整数。
另外,我们注意到函数 y 的周期为 2π,因为当 x 增加 2π 时,sin(x+π/4) 和 cos(x+π/4) 均会重复一次。
因此,最小正周期为函数 y 的周期除以任意整数 k 的最小正值,即 T = 2π/k,其中 k 为正整数。由于 y 的周期为 2π,因此 k 取 1 时,最小正周期为 2π。
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我们可以先将 y=sin(x)+cos(x) 改写成一个三角函数的形式。为此,我们可以引入一个变量 t,使得:
y = √2(sin(x+π/4))
因此,y 的最大值为 √2,当 sin(x+π/4)=1 时取到,即 x = π/4 + 2kπ,其中 k 为任意整数;y 的最小值为 -√2,当 sin(x+π/4)=-1 时取到,即 x = 5π/4 + 2kπ,其中 k 为任意整数。
另外,我们注意到函数 y 的周期为 2π,因为当 x 增加 2π 时,sin(x+π/4) 和 cos(x+π/4) 均会重复一次。
因此,最小正周期为函数 y 的周期除以任意整数 k 的最小正值,即 T = 2π/k,其中 k 为正整数。由于 y 的周期为 2π,因此 k 取 1 时,最小正周期为 2π。
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