Question

设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，利用罗尔定理说明方程f(x)=0有几个实根，并指出它们所在的区间．

Answer 1

【答案】：显然f(x)在R内连续且可导，∵f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=0，
∴f(x)在闭区间[0，1]，[1，2]，[2，3]上满足罗尔定理．
∴在(0，1)内知道存在一点ξ₁，使f'(ξ₁)=0；在(1，2)内知道存在一点ξ₂，使f'(ξ₂)=0；
在(2，3)内知道存在一点ξ₃，使f'(ξ₃)=0．
又∵f'(x)为三次多项式，∴最多只能有三个零点，故f'(x)恰好有三个零点分别在区间(0，1)，(1，2)，(2，3)内．