Question

函数问题！

对函数F(X)在（-∞，+∞）上满足F(2-X)=F(2+X),F(7-X)=F(7+X),且在闭区间【0，7】上，只有F(1)=F(3)=0
(1)试判断函数Y=F(X)的奇偶性
（2）试求方程F(X)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论

Answer 1

由题意可知，F是最小正周期为10的周期函数，且F关于x=2和x=7对称。而由题意可知，F(1)=F(3)=0故，下一个为零的将是F（11），即F在一个周期内只有两个根
（1）F非奇非偶。由对称性和上面的分析可知，F(-7)=0,而F(7)不等于零，所以F非奇非偶
（2）F在一个周期内只有两个根，故[0,2000]共有400个根，而且超过2000之后，紧挨着的三个根是F(2003)=F(2001)=F(2003)=F(2011)=0，故在[0,2005]之间共有402个根；
[-2000,0]是200个周期，紧接着的根是F(2007)=0，故[-2005,0]有400个根；
故[-2005,2005]共有802个根