Question

关于不等式的数学题

09湖州二模 已知f(x)=lnx.求证
(1)f(1+x)≤x(x>-1); （2）ln2/2²+ln3/3²+...+lnn/n²<2n²-n-1/4(n+1) (n∈N*,n≥2)

急急急。在线等，要过程。第一小题已经做出来了，只要证第二小题。用数学归纳法做。谢谢了、。感激不尽。
同学，我想要正确的数学归纳的方法， 你那个好像不大正确的样子诶。

Answer 1

(a)当n=2时，
ln2/2²=ln2/4 < 1/4
(2*2²-2-1)/[4(2+1)] = 5/12
因为ln2/2²< 1/4 < 5/12成立
所以n=2时，ln2/2²+ln3/3²+...+lnn/n²<(2n²-n-1)/[4(n+1)]成立。

(b)假设n=k时成立，有：
ln2/2²+ln3/3²+...+lnk/k²<(2k²-k-1)/[4(k+1)]
则当n=k+1时：
ln2/2²+ln3/3²+...+lnk/k²+ln(k+1)/(k+1)²
<(2k²-k-1)/[4(k+1)]+ln(k+1)/（k+1)²
≤(2k²-k-1)/[4(k+1)]+k/(k+1)²【ln(k+1))≤k】
<(2k²-k)/[4(k+1)]+k/(k+1)²
<(2k²-k)/[4(k+1)]+k/(k+1)
=(2k²+3k)/[4(k+1)]
<(2k²+3k)/[4(k+2)]
=[2(k+1)²-(k+1)-1]/[4(k+2)]
所以原不等式成立。

Answer 2

（1）当n=2时，ln2/2²=ln2/4 < 2n²-n-1/4(n+1) =5.25
(2)假设n=k时成立 ln2/2²+ln3/3²+...+lnk/k²<2k²-k-1/4(k+1)
（3）当n=k+1时，ln2/2²+ln3/3²+...+lnk/k²+ln（k+1）/（k+1)²
< 2k²-k-1/4(k+1)+ln（k+1）/（k+1)²
2k²-k-1/4(k+1)+ln（k+1）/（k+1)²再与 2(k+1)²-k+1-1/4(k+2)比较就行了

Answer 3

n=2时，左=ln2/2², 右=5/12,
由（1）的结论：ln2=ln(1+1)≤1, 则左≤1/4<5/12，成立。