Question

微分方程 y″-5y′-6y=e^(3x)+2 的特解应具有形式为 ( )？

Answer 1

微分方程 y″-5y′-6y = e^(3x)+2
特征方程 r^2 - 5r - 6 = 0, (r+1)(r-6) = 0, r = -1, 6
特解形式应为 y = ae^(3x) + b
则 y' = 3ae^(3x) ， y'' = 9ae^(3x)
代入微分方程得 9a-15a-6a = 1, -6b = 2, 解得 a = -1/12， b = -1/3
特解为 y = (-1/12)e^(3x) - 1/3
通解为 y = C1e^(-x) + C2e^(6x) - (1/12)e^(3x) - 1/3

Answer 2

首先求齐次方程的通解：
y″-5y′-6y=0
对应的特征方程为 r^2-5r-6=0，解得 r1=-1，r2=6，所以齐次方程的通解为 y=c1e^(-t)+c2e^(6t)。
由于右边的非齐次项 e^(3x)+2 中，e^(3x) 为特征方程的根，所以特解的形式应该为 Ae^(3x)，其中 A 为待定系数。
将特解代入微分方程，得到：
9Ae^(3x)-15Ae^(3x)-6Ae^(3x)=e^(3x)+2
解得 A=-1/3，因此特解为 y=-1/3*e^(3x)。
所以原微分方程的通解为 y=c1e^(-t)+c2e^(6t)-1/3*e^(3x)。