Question

什么是复变函数？

Answer 1

(1+i)^i=e^[iLn(1+i)]=e^{i[ln|1+i|+iarg(1+i)+i2kπ]}=e^{i[ln√2+iπ/4+i2kπ]}=e^(iln√2-π/4-2kπ)，其主值=e^(iln√2-π/4)。

定义

复变数复值函数的简称。设A是一个复数集，如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为

w=ƒ(z)

这个记号表示，ƒ(z)是z通过规则ƒ而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv，那么复变函数w=ƒ(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一个复变函数w=ƒ(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明，函数一般指单值函数，即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。

例如，f(z)=是复平面上的复变函数。但f(z)=

 在复平面上并非单值，而是多值函数。对这种多值函数要有特殊的处理方法（见解析开拓、黎曼曲面）。

对于z∈A,(z)的全体所成的数集称为A关于的像，记为(A)。函数规定了A与(A)之间的一个映射。例如在w=z2的映射下，z平面上的射线argz=θ与w平面上的射线argw=2θ对应；如果(A)∈A*，称把A映入A*。如果(A)=A*，则称把A映成A*，此时称A为A*的原像。

对于把A映成A*的映射，如果z1与z2相异必导致(z1)与(z2)也相异，则称是一对一的。在一对一的映射下，对A*上的任一w，A上必有一个z与之对应，称此映射为的反函数，记为

z=ƒ-1(w)

以上内容参考：百度百科-复变函数

Answer 2

复变函数是指定义在复数域上的函数，即将复数域映射到复数域上的函数。以下是一些常见的复变函数：
1. $f(z) = z^2+1$：这是一个简单的二次函数，输入为复数，输出为复数。
2. $f(z) = e^z$：这里的 $e$ 是自然对数的底数，$f(z)$ 为复数 $z$ 上的指数函数。
3. $f(z) = \sin z$：这是复数 $z$ 上的正弦函数，其定义方式类似于实数情况下的正弦函数。
4. $f(z) = \frac{1}{z}$：这是复数 $z$ 上的倒数函数，它对于 $z=0$ 的情况存在极点。
以上只是一些常见的例子，实际上复变函数有各种形式，包括有理函数、三角函数、指数函数、对数函数等等。