Question

初中数学圆部分

1. 有一个圆O和两个正六边形T1,T2.T1的6个顶点都在圆周上。T2的6条边都和圆O相切
（我们称T1,T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）
（1）设T1,T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r ：a及r ：b的值
（ 2）求正六边形T1,T2的面积比S1：S2的值
2. 园内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为圆O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G。求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的1/3。

Answer 1

1（1）正六边形的圆心角均为60度，
又∵T1的六角都在圆上
∴将相邻的两顶点与原心连起来，就构成了一个等边三角形。
∴r=a，r：a=1：1
T2中：先和上面的一样，可以得到一个等边三角形，
然后过圆心作该等边三角形的高，高即为半径r
∴cos30°*b=r，r：b=cos30°=√3:2.
（2）正六边形可以分为面积相等的6个正三角形，所以，
正六边形T1,T2的面积比S1：S2的值等于两个正三角形的比值。

又∵S1△=1/2*r²*sin60°
S2△=1/2*b²*sin60°
∴S1：S2=r²: b²=(r:b)²=(√3:2)²=3:4
2. 连AO,BO,CO
则△ABC的面积等分成3份：S△AOB,S△AOC,S△BOC
易证△COG≌△BOF(SSS)
∴S△COG=S△BOF
∴S四边形OFCG=S△BOC=S△AOB*1/3

Answer 2

1（1）∵T1的六角都在圆O上
∴将相邻的两定点与原心连起来，构成了一个等边三角形
则r=a，r：a=1：1
T2中：先和上面的一样，然后过O作该等边三角形的高，
则高即为半径r
∴cos30°*b=r，r：b=cos30°=√3:2
（2）S1:S2=6ar/2:6br*sin60°/2=√3a/2：b=√3r/2：2r/√3=3:4
2.连AO,BO,CO
则△ABC的面积等分成3份：S△AOB,S△AOC,S△BOC
易证△COE≌△BOF(SSS)
∴S△COE=S△BOF
∴S四边形OFCG=S△BOC=S△AOB*1/3

Answer 3

假设三角形ABC中，AB<AC-BC，那么将原式变形就可得AB+BC<AC，即两边之和小于第三边，与定理“三角形两边之和大于第三边”矛盾，因此假设不成立，原命题“三角形两边之差小于第三边”成立
2.证明：
假设三角形ABC中，∠A≥90°，∠B≥90°，那么∠A+∠B≥180°，因为∠C>0°，所以∠A+∠B+∠C>180°，与定理“三角形内角和180°”矛盾，因此假设不成立，原命题“一个三角形中至少有两个锐角”成立

Answer 4

(1)反证：假设一个三角形任意两边之差不小于第三边即大于等于第三边
不妨设三边分别为AB、BC、AC，则AB-BC≥AC，则AB≥BC+AC，与两点之间线段最短矛盾，假设不成立，原命题成立
（2）反证：假设只有一个角是锐角或没有锐角，则三个角之和大于180度，与三角形内角和定理矛盾，假设不成立，原命题成立

Answer 5

辅助线呗，辅助线难找呀，初中的时候最怕的就是做辅助线……