Question

高等数学问题，求三重积分问题，问题如图

我用球面坐标计算， θ：0-> 2π φ：0-> π/2 r：0->R/2cosφ
结果错了，不知道应该怎么计算。

Answer 1

• 1.积分区域不是那种很规则的类型，无论是选用球面坐标还是柱面坐标，计算都比较麻烦(都得将其分成两个区域，这也是你错的原因)。

• 2.这里采用另外一种做法，被积函数仅与z相关，且足够简单。

　　‍同样也是分成两部分，以z=R/2为分界面，由球面可得：

　　上半部分的横截面积S1=πr^2=(R^2-Z^2)π，且变量Z的范围为R/2->R。

　　下半部分的横截面积S2=πr^2=(2RZ-Z^2)π，且变量Z的范围为0->R/2。

• 公式如下，计算楼主自己验证。

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Answer 2

要分两块来计算，在 φ：0-> π/4， r：0->R
在 φ：π/4-> π/2， r：0->R/2cosφ