Question

4道高一正余弦定理题目，求答案。

1.已知三角形ABC的三边长分别为x平方+x+1，x平方-1，2x+1，求这个三角形中最大的内角。
2.在三角形ABC中，已知a平方tanB=b平方tanA，试判断这个三角形的形状。
3.在三角形ABC中，A最大，C最小，且A=2C，a+c=2b，求此三角形三边之比。
4.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积。

Answer 1

1.由于x>1，所以有x^2+x+1>x^2-1,x^2+x+1>2x+1.因此x^2+x+1所对的角为最大角（大角对大边）记为A，由余弦定理可知:
cosA=((x^2-1)^2+(2*x+1)^2-(x^2+x+1)^2)/(2(x^2-1)*(2*x+1)),化简可得
cosA=-（1/2），所以角A为120度，即最大角为120度。

2.根据正弦定理a/sinA=b/sinB
所以tanA/tanB=(sinA)方/(sinB)方
又因为sinA/tanA=cosA
所以2sinAcosA=2sinBcosB
根据倍角公式sin2A=sin2B
所以A=B 或者角A+角B=90度
所以是等腰或直角三角形

3.解：由正弦定理得
sinA/a=sinC/c
即2sinCcosC/a=sinC/c
∴cosC=a/2c
余玄定理得
cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=(a+c)(a-c)+b^2/2ab
又∵2b=a+c
∴a/2c=2b(a-c)+b^2/2ab
∴a/c=2(a-c)+b/a
即2a^2+3c^2-5ac=0
∴a=c或a=3/2c
∴a:b:c=6:5:4

4.连接BD，则四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=1/2*AB*AD*sinA+1/2BC*CD*sinC
∵A+C=180°
∴sinA=sinC
∴S=1/2(AB*AD+BC*CD)*sinA=1/2(2*4+6*4)sinA=16sinA
由余弦定理，在△ABD中：BD^2=AB^2+AD^2-2*AB*AD*cosA=20-16cosA
在△BCD中：BD^2=CB^2+CD^2-2CB*CD*cosC=52-48cosC
∴20-16 cosA=52-48cosC
∵A+C=180°
∴cosC=- cosA
∴cosA=-1/2
A=120°
∴S=16sin120°=8√3

学习愉快呀~