Question

非齐次线性方程组的通解是怎样求得的？

Answer 1

假定对于一个含有n个未知数m个方程的非齐次线性方程组而言，若n<=m, 则有：

（1）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均等于方程组中未知数个数n的时候，方程组有唯一解。

（2）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均小于方程组中未知数个数n的时候，方程组有无穷多解。

（3）当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解。

若n>m时，则按照上述讨论。

（1）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等的时候，方程组有无穷多解。

（2）当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解。

非齐次线性方程组解的判别：

如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，方程组无解；如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组有解。在有解的情况下，如果系数矩阵的秩等于未知数的个数，非齐次线性方程组有唯一解。

如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，非齐次线性方程组有无穷多解，如果有无穷多解，先求所对应齐次线性方程组的基础解系，再求出非齐次线性方程组的一个特解。

由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其对应的齐次线性方程组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解（通解）可表示为：对应齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的特解。