级数为什么在一定条件下收敛？
0<∑1/n²<∑[1/n(n-1)] = ∑[1/n-1)-1/n] = 1-1/n，所以收敛。
至于∑1/n.考虑函数ln(1+x) - x，其导数为1/(1+x) -1。
当x恒大于0时，导数恒小于0，当x=0时，ln(1+x)-x =0，
当x>0时，ln(1+x) - x <0 ，所以ln((n+1)/n) = ln(1+1/n) < 1/n。
1/n > ln(n+1)-ln(n)，所以∑1/n > ∑ln(n+1)-ln(n) = ln(n+1)很显然不收敛。
1/(n*n)收敛的原因：
可以用1/x*x的积分放大估计，也可以用按2的k次方集项估计：
第一项等于1，第二第三项之和小于1/2(小于两个1/2的平方，第4项到第7项之和小于1/4(四个1/4平方之和），第8项到第15项之和小于1/8(八个1/8平方之和.）
总之，小于收敛的公比为1/2的等比级数，所以收敛。
扩展资料
判断级数收敛或者发散的方法：
1、比较判别法
简而言之，小于收敛正项级数的必然收敛，大于发散正向级数的必然发散。当然其中可以存在倍数关系，可以将一个级数放大或缩小再进行比较。若用极限形式，就是二者的比值的极限值是一个有限的正数即可。
2、柯西判别法
从某一项往后，那一项的n分之一次方大于等于1，那么这个级数发散，若那一项的n分之一次方小于1，但是不能无线接近于1，则级数收敛。极限形式就是正项级数的n分之一次方的上极限小于1，收敛，大于1则发散，等于1需要进一步判断。
3、达朗贝尔判别法
从某一项开始，这一项和前一项的比值大于等于1，则级数发散；若这一项和前一项的比值小于1且不会无限接近于1，则级数收敛。极限形式就是这个比值的上极限小于1，级数收敛；这个比值的下极限大于1，级数发散。
参考资料来源：百度百科-发散
参考资料来源：百度百科-收敛
