Question

1平方加到n平方的和是多少？

Answer 1

要推导出1平方加到n平方的结果，可以使用数学归纳法。

首先，我们可以观察到以下几个特殊的情况：
当 n = 1 时，结果为 1 的平方，即 1。
当 n = 2 时，结果为 1 的平方加上 2 的平方，即 1 + 2² = 1 + 4 = 5。
当 n = 3 时，结果为 1 的平方加上 2 的平方加上 3 的平方，即 1 + 2² + 3² = 1 + 4 + 9 = 14。

假设对于任意的正整数 k，1² + 2² + ... + k² 的和为 S(k)。

现在，我们来看当 n = k + 1 时，我们要推导 S(k+1)。
根据归纳法的假设，已知 S(k) = 1² + 2² + ... + k²。

那么，S(k+1) = (1² + 2² + ... + k²) + (k+1)²。
我们可以将后面这两项展开：
S(k+1) = 1² + 2² + ... + k² + k² + 2k + 1。

观察到，k² 和 2k 这两项可以合并为 k(k+1)。因此，S(k+1) 可以进一步简化为：
S(k+1) = 1² + 2² + ... + k² + k(k+1) + 1。

我们可以将前面的和 S(k) 带入到上式中，得到：
S(k+1) = S(k) + k(k+1) + 1。

以上推导就得到了 1² + 2² + ... + n² 的结果。

解答方法有两种：
1. 通过推导得到的数学表达式求和，使用数学归纳法进行证明。
2. 使用简便方法，利用已知的公式进行求解。事实上，存在着一个已知公式：1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6。这个公式可以直接用来计算结果，而不需要进行推导。

无论使用哪种方法，最终的结果都是相同的。