数学题数学题
如图,D是△ABC的BC边上的一点,且CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线,求证:AC=2AE。、快快...
如图,D是△ABC的BC边上的一点,且CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线,求证:AC=2AE。
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作DF‖AB,交AE延长线于F,
AE=DE,∠FDE=∠ABD,∠DEF=∠AEB,△ABE≌△FDE,DF=AB,AE=EF=AF/2,AF=2AE.
又AB=DC.所以DF=CD,
又∠ADF=∠BDA+∠FDE=∠BDA+∠ABD,
∠ADC=∠BAD+∠ABD,,∠BDA=∠BAD,∠ADC=∠BDA+∠ABD,
所以∠ADC=∠ADF,AD为公共边,DF=CD(已证),△ADC≌△ADF,AC=AF.
所以AC=AF=2AE.
AE=DE,∠FDE=∠ABD,∠DEF=∠AEB,△ABE≌△FDE,DF=AB,AE=EF=AF/2,AF=2AE.
又AB=DC.所以DF=CD,
又∠ADF=∠BDA+∠FDE=∠BDA+∠ABD,
∠ADC=∠BAD+∠ABD,,∠BDA=∠BAD,∠ADC=∠BDA+∠ABD,
所以∠ADC=∠ADF,AD为公共边,DF=CD(已证),△ADC≌△ADF,AC=AF.
所以AC=AF=2AE.
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证明:延长AE至F,使得EF=AE,连接DF
∵AE是△ABD的中线 ∴DE=BD 又∵EF=AE ∠AEB=∠FED
∴△ABE≌△FDE(S.A.S) ∴DF=AB ∠ABD=∠FDB
∵∠BDA=∠BAD ∴∠ABC=∠ABD+∠BAD=∠FDB+∠BDA=∠ADF
∵CD=AB DF=AB ∴CD=DF AD=AD
∴△ADF≌△ADC(S.A.S) ∴AC=AF=2AE
∵AE是△ABD的中线 ∴DE=BD 又∵EF=AE ∠AEB=∠FED
∴△ABE≌△FDE(S.A.S) ∴DF=AB ∠ABD=∠FDB
∵∠BDA=∠BAD ∴∠ABC=∠ABD+∠BAD=∠FDB+∠BDA=∠ADF
∵CD=AB DF=AB ∴CD=DF AD=AD
∴△ADF≌△ADC(S.A.S) ∴AC=AF=2AE
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