Question

如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平面四边形，

如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平面四边形，PG⊥平面ABC，垂足G在AD上，且AG=1/3GD,GB⊥，GB=GC=2,PG=4,E是BC的中点。
1。求证：PC⊥BG
2。求异面直线GE与PC所成角的余弦值
3。若F是PC上一点，且DF⊥GC,求CF/CP的值。

已知椭圆的中心在原点，焦点在X轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线L交椭圆于A,B两点。
1。求椭圆的方程
2。已知e=(t,0),p=λ(MA/ |MA|+ MB/|MB|),是否对任意的正实数t，λ，都有e▪p=0成立？请证明。

Answer 1

假设题目中给的条件“GB⊥，”是GB⊥GC，
1。证明：
∵PG⊥面ABC，且BG在面ABC内；
∴PG⊥BG；
而BG⊥GC，PG和GC是面PGC内相交两线；
∴BG⊥面PGC
又∵PC在面PGC内，
∴BG⊥PC，证毕。

2。解：
取BC中点M，连接EM，由于E是PB中点。
∴EM‖PC，
所以角MEG是异面直线PC与EG成的角。
在直角△BGC中，GB=GC=2
易得BM=MC=GM=√2；
直角△PGB中，PG=4，GB=2
易得：GE=1/2PB=√5； // 直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半
直角△PGC中，PG=4，GC=2
易得：PC=2√5
∴EM=1/2PC=√5；
在三角形MEG中，由余弦定理得：
cosMEG=(EM²+EG²-MG²)/(2*EM*MG)=(5+5-2)/(2*5)=4/5;
即：一面直线PC于EM所成角的余弦是4/5。

3。设AG=x，由题知：GD=3AG=3x；
∵BG⊥GC，DF⊥GC
∴BG‖DF，而GD‖BF，
∴四边形GDFB是平行四边形；
∴BF=GD=3x，AD=AG+GD=4x；
则CF=BC-BF
=AD-BF
=x
在等腰直角△BGC中，BC=2√2；
即4x=2√2；
∴x=√2/2；
即CF=√2/2，而已求得：CP=2√5；
∴CF/CP=(√2/2) / (2√5)
=√10/20 (20 分之 根号下 10）；

打完收工！