Question

数学第3题

Answer 1

不失一般性,设a≧b≧c,则有：1/a≦1/b≦1/c.
∵a≧b,∴a－b≧0,显然有：c－a－b＜0.
∴a（b＋c－a）－b（a＋c－b）＝ab＋ac－a^2－ab－bc＋b^2＝（ac－bc）－（a^2－b^2）
＝c（a－b）－（a－b）（a＋b）＝（a－b）（c－a－b）≦0.
∴a（b＋c－a）≦b（a＋c－b）.······①
∵b≧c,∴b－c≧0,显然有：a－b－c＜0.
∴b（a＋c－b）－c（a＋b－c）＝ab＋bc－b^2－ac－bc＋c^2＝（ab－ac）－（b^2－c^2）
＝a（b－c）－（b－c）（b＋c）＝（b－c）（a－b－c）≦0.
∴b（a＋c－b）≦c（a＋b－c）.······②
由①、②得：桥昌a（b＋c－a）≦b（a＋c－b）≦c（a＋b－c）.
考查下面两个正数序列：1/a≦1/b≦1/c；　a（b＋c－a）≦b（a＋c－b）≦c（a＋b－c）.
由排序不等式：顺序和不小于乱序和.得：
［a（b＋c－a）］/a＋［b（a＋c－b）］/b＋［c（a＋b－c）］/c
≧［a（b＋c－a）］举则/c＋［b（a＋c－b）］/a＋［c（a＋b－c）］/b,
∴a＋b＋c≧［a（b＋c－a）］/c＋［b（a＋c－b）］/a＋［c（a＋b－c）］/b,
∵abc＞0,∴上式两边同乘以abc,得：
a^2bc＋正消棚b^2ac＋c^2ab≧a^2b（b＋c－a）＋b^2c（a＋c－b）＋c^2a（a＋b－c）,
∴0≧a^2b（b－a）＋b^2c（c－b）＋c^2a（a－c）,
∴a^2b（a－b）＋b^2c（b－c）＋c^2a（c－a）≧0.

方法二:
证明：
a^2b(a－b)+b^2c(b－c)+c^2a(c－a)
= 1/2[(a+b－c)(b+c－a)(a－b)^2+(b+c－a)(a+c－b)(b－c)^2+(a+c－b)(a+b－c)(c－a)^2]≥0.
（据说是一个西德的小子写出来的）
设a为最大边,则
a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)＝a(b-c)^2(b+c-a)+b(a-b)(a-c)(a+b-c).
因为后边每一项都是非负,所以原式成立；
只有当a＝b＝c 时,原式取等号