Question

a,b,c为不全相等的实数，求证：(a^2+b^2+c^2)x^2+2(a+b+c)x+3=0无实数根

Answer 1

a,b,c不全相等，所以a^2+b^2+c^2>0
⊿=4（a+b+c)^2-12(a^2+b^2+c^2)
=4(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3a^2-3b^2-3c^2)
=4(2ab+2bc+2ac-2a^2-2b^2-2c^2)
=-4[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]
∵a,b,c不全相等，∴⊿<0
所以方程无实数根

Answer 2

(a^2+b^2+c^2)x^2+2(a+b+c)x+3=0
△=[2(a+b+c)]^2-4*3*(a^2+b^2+c^2)
=4a^2+4b^2+4c^2+8ab+8ac+8bc-12a^2-12b^2-12c^2
=8ab+8ac+8bc-8a^2-8b^2-8c^2
=8ab+8ac+8bc-4a^2-4b^2-4c^2-4a^2-4b^2-4c^2
=-4a^2+8ab-4b^2
-4a^2+8ac-4c^2
-4b^2+8bc-4c^2
=-4(a-b)^2-4(b-c)^2-4(a-c)^2
因为a,b,c为不全相等的实数
所以△<0
即：(a^2+b^2+c^2)x^2+2(a+b+c)x+3=0无实数根

Answer 3

判别式：
4(a+b+c)^2-12(a^2+b^2+c^2)
=4[2ab+2bc+2ca-2a^2-2b^2-2c^2]
=4[ (2ab-a^2-b^2)+(2bc-b^2-c^2)+(2ca-c^2-a^2)] <= 0
因为等号成立当且仅当 a=b=c,但a,b,c为不全相等的实数，故：
判别式小于0，(a^2+b^2+c^2)x^2+2(a+b+c)x+3=0无实数根

Answer 4

a^2+b^2+c^2,平方项恒非负，若a,b,c中有等于0的，则必有不等于0的。
a^2+b^2+c^2>0
方程为一元二次方程。

判别式：
4(a+b+c)^2-12(a^2+b^2+c^2)
=4(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3a^2-3b^2-3c^2)
=4(-2a^2-2b^2-2c^2+2ab+2bc+2ca)
=(-4)(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)
=(-4)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]
平方项恒非负，又a,b,c为不全相等的实数,(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2必有不等于0者。
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>0
(-4)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]<0
判别式<0，方程无实数根。

楼上诸位解答不严谨，是因为没有对平方和是否等于0进行论证。