Question

1.试举例给出由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数=f(x,y)的偏导数x和偏导数y？

Answer 1

假设方程 F(x, y, z) = 0 决定了隐函数 f(x, y)，我们可以使用隐函数定理来计算其偏导数。
隐函数定理表达式为：
∂f/∂x = - (∂F/∂x) / (∂F/∂z)
∂f/∂y = - (∂F/∂y) / (∂F/∂z)
这里的 (∂F/∂x)，(∂F/∂y) 和 (∂F/∂z) 分别是 F 对于 x、y 和 z 的偏导数。
让我们假设 F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z - 1 = 0 是方程，决定了隐函数 f(x, y)。那么我们可以计算偏导数：
∂F/∂x = 2x
∂F/∂y = 2y
∂F/∂z = 1
然后，我们可以使用隐函数定理来计算 f(x, y) 的偏导数：
∂f/∂x = - (∂F/∂x) / (∂F/∂z) = - (2x) / 1 = -2x
∂f/∂y = - (∂F/∂y) / (∂F/∂z) = - (2y) / 1 = -2y
所以，偏导数 ∂f/∂x = -2x，偏导数 ∂f/∂y = -2y。

Answer 2

例如由方程 e^(xyz) + cos(x+y+z) = 0 所确定的隐函数 z = f(x,y), 求 ∂z/∂x, ∂z/∂y。
e^(xyz) + cos(x+y+z) = 0 两边分别对 x 求偏导, 注意 z 是 x， y 的函数，得
（yz+xy∂z/∂x)e^(xyz) - (1+∂z/∂x)sin(x+y+z) = 0
解得 ∂z/∂x = [sin(x+y+z)-yze^(x+y+z)]/[xye^(xyz)-sin(x+y+z)]
同理 ∂z/∂y = [sin(x+y+z)-xze^(x+y+z)]/[xye^(xyz)-sin(x+y+z)]