Question

1/ lnx的原函数是什么，怎样求？

Answer 1

解：因为1/lnx 的原函数不是初等函数，所以不能用常规的有限解析式来求它的原函数……
首先换元。令x=e^t 所以 1/lnx = 1/t
所以∫1/lnx dx =∫1/t * e^t dt
到这后，我们知道如果用泰勒展开式的话，e^t=∑[0,正无穷]t^n / n!
将这个展开式带到上面∫1/lnx dx =∫1/t * e^t dt 里面 , 相信剩下的无限性基本积分我就不用详细赘述了啊。
最后的结果是： ln | lnx | + ∑[0,正无穷] (lnx)^n / n*(n!) +C C为任意常数，且x>0 , x≠1

第二个也是同样如此，令1/x = t 则x=1/t
∫sin(1/x) dx = ∫-sint *(1/t^2) dt
把sint按级数展开：sint=∑（-1）^n *[ t^(2n+1) / (2n+1)! ] n从0到正无穷，然后t∈R
这样把sint 的展开式带入积分式子。
结构是：ln | t | + ∑ (-1)^n * [ x^(2n) / (2n *(2n+1)!) +C C为任意常数，X∈R

额 ，大概就是这样了~~~~~