Question

一道不等式问题，请你们帮我解答。

a，b，c，是不全相等的正数。求证，a+b+c＞根号下ab +根号下bc +根号下ca

Answer 1

a+b ≥ 2√ab （1）
b+c ≥ 2√bc (2)
c+a ≥ 2√ca (3)

a，b，c，是不全相等的正数， (1) (2)(3) 式至少有一个对 > 成立
三式相加，
2(a+b+c) > 2(√ab +√bc +√ca)

a+b+c > √ab +√bc +√ca

Answer 2

用反证法，由于不好用打字的方式表达出来 所以就用口述的：将要证明的等式二边同时平方，再化简 可知最终得到一个恒等式 证明完毕

Answer 3

(根号下a - 根号下b)的平方 + (根号下b - 根号下c)的平方 + (根号下c - 根号下a)的平方 > 0
同时：
=(a + b - 2*根号下ab) + (b + c - 2*根号下bc) + (c + a -2*根号下ca)
=2(a+b+c)-2(根号下ab +根号下bc +根号下ca)
所以
2(a+b+c)-2(根号下ab +根号下bc +根号下ca)>0
(a+b+c)>(根号下ab +根号下bc +根号下ca)