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1)当n=2时，左边=a2=2,成立
假设n=k时不等式成立，即ak≥2
则当n=k+1时，ak+1=[1+1/(k^2+k)]ak+1/2^k
lim 1/(k^2+k)=0
因为k>0
所以1/(k^2+k)无限趋近于0，但总是〉0
所以[1+1/(k^2+k)]〉1
[1+1/(k^2+k)]ak+1/2^k≥2
所以对n≥2,n∈N*都成立
2）ln(1+x)<x
loge(1+x)<loge(e^x)
因为e>1
所以1+x<e^x
1+2<e^2
当n=1时，左边=a1<3,a1<e^2,成立
假设n=k时成立，即ak<e^2,ak<3
则n=k+1时
ak+1=[1+1/(k^2+k)]ak+1/2^k
根刚刚证的一样，[1+1/(k^2+k)]ak+1/2^k<3
ak+1<e^2
所以对n∈N*都成立
假设n=k时不等式成立，即ak≥2
则当n=k+1时，ak+1=[1+1/(k^2+k)]ak+1/2^k
lim 1/(k^2+k)=0
因为k>0
所以1/(k^2+k)无限趋近于0，但总是〉0
所以[1+1/(k^2+k)]〉1
[1+1/(k^2+k)]ak+1/2^k≥2
所以对n≥2,n∈N*都成立
2）ln(1+x)<x
loge(1+x)<loge(e^x)
因为e>1
所以1+x<e^x
1+2<e^2
当n=1时，左边=a1<3,a1<e^2,成立
假设n=k时成立，即ak<e^2,ak<3
则n=k+1时
ak+1=[1+1/(k^2+k)]ak+1/2^k
根刚刚证的一样，[1+1/(k^2+k)]ak+1/2^k<3
ak+1<e^2
所以对n∈N*都成立
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