Question

若不等式x^2-8x+20 / mx^2+2(m+1)x+9m+4>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

x^2-8x+20=（x-4）^2+4》0
x^2-8x+20 / mx^2+2(m+1)x+9m+4>0对一切实数x恒成立
只要mx^2+2(m+1)x+9m+4>0对x∈R成立即可
当m=0是，显然对x属于R不成立
当m≠0,开口向上，只要和x轴没有交点即可，开口向下的话，也和x轴没有交点
则△=4（m+1）^2-4m(9m+4)
=4m^2+8m+4-36m^2-16m
=-32m^2-8m+4<0
8m^2+2m-1>0
8（m^2+1/4 m+1/64）>9/8
(m+1/8)^2>9/64
m+1/8>3/8或者m+1/8<-3/8
所以m>1/4或者m<-1/2

Answer 2

x²-8x+20 中Δ<0，所以x²-8x+20恒大于零，
只要求mx²+2(m+1)x+9m+4<0
1.m=0时，2x+4不恒大于0
2.令m<0,求Δ<0，得m∈（-∞，-½）∪（1/4，+∞）
又因为m<0，
得m∈（-∞，-½）