Question

已知三角形的三边张成公差为2的等差数列且他的最大正弦值为√ 3/2，则这个三角形的面积是多少？

要过程，谢谢

Answer 1

解：

不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a>b>c>0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C

则a-b=b-c=d

a=c+4，b=c+2

sinA=√3/2

∴A=60°或120°

若A=60°，因为三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，故A=120°

cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)

=(c-6)/(2c)

=-1/2

∴c=3

∴b=c+2=5

∴S△ABC=(1/2)*bc*sinA=15√3/4

谢谢

Answer 2

正弦值为√ 3/2，对应的角为60度或120度
并且我们能判断只能是120度
设三边为x-2,x,x+2
则：(x+2)^2=(x-2)^2+x^2-2(x-2)xcos120
x^2+4x+4=x^2-4x+4+x^2+x^2-2x
10x=2x^2
x=5
所以三边为：3，5，7
面积=(1/2)3*5*sin120
=(15/4)(根号3)

Answer 3

显然最大角为120°（最大角是60°是可能的），假设这个角是A,且三角形三条边分别为a，a-d，a-2d
由余弦定理：
a^2=（a-d）^2+(a-2d)^2-2(a-d)(a-2d)CosA
化简 2a^2-9ad+7d^2=0
解得 d=2a/7 或 d=a （不可能是正三角形，舍去）
所以 S=（a-d）（a-2d）SinA/2=15（根号3）*d^2/16=15（根号3）/4 【公差为2】