Question

有三道数学题要问下？

(1)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（其中c为斜边长），则三角形的内切圆的半径是？请说明理由。
（2）若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为a、b、c，则三角形的内切圆的半径是？请说明理由。
（3）求二次函数的解析式。函数图象与X轴交于两点（1 - 根号2，0）和（1+根号2，0），并与Y轴交于（0，- 2）

Answer 1

1 r＝(a＋b－c)/2

2 2s/（a+b+c）

3 设二次函数解析式为y=a(x-1 + 根号2)(x-1 - 根号2)带入点（0，- 2）得a=2

故函数解析式为y=2（x-1+根号2）（x-1 - 根号2）=2x²-4x-2

1和2证明过程：

设Rt△ABC中，∠C＝90度，BC＝a，AC＝b，AB＝c

如图设内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F，连接OD、OE、OF，OA、OB、OC

显然有OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC

所以S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB

所以ab/2＝br/2＋ar/2＋cr/2

所以r＝ab/(a＋b＋c) 即r=2S/(a＋b＋c)......①

＝ab(a＋b－c)/(a＋b＋c)(a＋b－c)

＝ab(a＋b－c)/[(a＋b)^2－c^2]

因为a^2＋b^2＝c^2.......*

所以内切圆半径r＝(a＋b－c)/2......②

当三角形为直角三角时可证得②，（满足*）

当三角形非直角三角形时，只能证明到①（不满足*）

真辛苦啊⊙﹏⊙！

Answer 2

(1) 三角形的内切圆的半径r=(a+b-c)/2，
在直角△ACB中，∠C=90º，内心为O，
作OD、OE、OF分别垂直于AB、BC、CA，垂足分别为D、E、F，
则a=AF+FC=AD+r，b=BE+EC=BD+r，
∴a+b=(AD+r)+( BD+r)=AB+2r=c+2r，
得r=(a+b-c)/2.
（2）r=2S/(a+b+c)
设△ABC的内心为O，连结OA、OB、OC，
则△ABC的面积=△OAB的面积+△OBC的面积+△OCA的面积
即S=cr/2+br/2+ar/2，2S=(a+b+c)r，
∴r=2S/(a+b+c).
（3）二次函数的解析式为y=2[x-(1-√2)][x-(1+√2)]=2（x²-2x-1）.
∵二次函数的图象与x轴交于两点（1 -√2，0）和（1+√2，0），
∴可设二次函数的解析式为y=a[x-(1-√2)][x-(1+√2)]，（a≠0）
又二次函数的图象与y轴交于（0，- 2），
∴-2=a(1-√2) (1+√2)，得a=2，
∴二次函数的解析式为y=2[x-(1-√2)][x-(1+√2)]=2（x²-2x-1）

Answer 3

1.先求面积S=根号下P(P-a)(P-b)(P-c) 这是海伦公式
其中P=1/2(a+b+c) 也就是周长的一半
面积S=1/2(a+b+c)*r r为三角形的内切圆的半径
2.S=1/2(a+b+c)*r r为三角形的内切圆的半径
补充：S=abc/4R R为三角形的外切圆的半径
3.设二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c
带入(0,2)点 得c=-2
依据根与系数的关系c/a=(1 - 根号2)*(1+根号2)=-1 a=2
-b/a=(1 - 根号2)+(1+根号2)=2 b=-4
y=2x^2-4x-2

Answer 4

定理：S=r*周长/2，其中r是多边形的内切圆半径
所以，
对于（1），r=ab/(a+b+c)
对于（2），r=S/(a+b+c)

下面解（3）设解析式为y=ax^2+bx+c
依题意，c=-2,
c/a=(1 - 根号2)*(1+根号2)=-1,所以a=2
-b/a=(1 - 根号2)+(1+根号2)=2,所以b=-4

所以解析式为 y=2x^2-4x-2

Answer 5

（1）a*b(a+b+c);这个可以使用等面积法，把三角形三个顶点与圆心连一来，可以把大三角形分成三个小三角形，这三个小三角的面积分别为a*r/2,b*r/2,c*r/2，而直角三角形面积又为a*b/2，所以a*r/2+b*r/2+c*r/2=a*b/2，所以r=a*b/(a+b+c);
(2)2*s/(a+b+c)方法同上。
(3)用两根法得到 y=a*(x-1-√2)(x-1+√2），即y=a*(x^2-2x-1)=a*x^2-2ax-a;
因为与y轴交与（0，-2）所以a=2,所以y=2*x^2-4x-2