Question

高一三角恒等变形的有关问题

1..在三角形ABC中，若sinAsingC=(cosA/2)^2,则三角形ABC是？【答案等腰三角形】
2.已知sinα=cos2α，α∈（π/2，π），则cotα的值为？【答案根号3】
3.已知α，β为锐角，且sinα-sinβ=－½，cosα-cosβ=½，则tan（α-β）的值为？【答案－根号7/3】
请给我详细的过程，谢谢各位回答帮助

Answer 1

1、
[cos(A/2)]^2=(cosA+1)/2
因此原式可化为
2sinAsinC=cosA+1

令A=30°
很容易得到
sinC=1+（1/2）根号3

实际上sinC不可能大于一
因此我有足够的理由楼主给的题目错了
根据我做题的过程
如果我没猜错的话
楼主的题目应该是
在三角形ABC中，若sinBsinC=(cosA/2)^2,则三角形ABC是

如果用积化和差公式
解法如下：
[cos(A/2)]^2=(cosA+1)/2
因此原式可化为
2sinBsinC=cosA+1

2sinBsinC-(cosA+1)
=2sinBsinC-(-cos(π-(B+C))+1)
=2sinBsinC+cos(B+C)-1
=2sinBsinC+cosBcosC-sinBsinC-1
=cosBcosC+sinBsinC-1
=cos(B-C)-1
=0
因此cos(B-C)=1
又因为B和C在三角形中
因此B-C=0
B=C
因此三角形ABC是等腰三角形

如果用积化和差公式来解
解法如下

sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2
则2sinAsinB=cos(B-C)-cos(B+C)=cosA+1
即
cos(B-C)-cos(B+C)=-cos(B+C)+1
即cos(B-C)=1
可得B=C

第二题%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
cos2α=(cosα)^2-(sinα)^2=1-2(sinα)^2
因此
sinα=1-2(sinα)^2
即2(sinα)^2-sinα-1=0
即（2sinα-1）（sinα+1）=0
解得sinα=1/2或者sinα=-1
又α∈（π/2，π），
因此
sinα=1/2
解得
α=30°
因此
cotα=cot30°=根号3

第三题%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
（sinα-sinβ）^2+(cosα-cosβ)^2
=(sinα)^2+(sinβ)^2-2sinαsinβ+(cosα)^2+(cosβ)^2-2cosαcosβ
=2-2sinαsinβ-2cosαcosβ
=1/2

则cosαcosβ+sinαsinβ=1-1/4=3/4
即cos(α-β)=3/4
又α，β为锐角，
且由题得
sinα<sinβ
cosα>cosβ
因此α-β<0。并且α-β∈（-π/2，0），
则sin(α-β)
=-根号（1-(cos(α-β))^2)
=-根号（1-9/16）
=-（根号7）/4

因此
tan（α-β）
=（sin（α-β）)/cos(（α-β）)
=(-（根号7）/4)/(3/4)
=－(根号7)/3