Question

【跪求数学高手】使利润最大化例题计算。

某工艺品加工厂准备生产甲…乙两种纪念品…该厂所用的主要原料A…B两种贵重金属…已知生产一套甲纪念品主要原料A和原料B的成分分别为4盒和3盒…生产一套乙纪念品主要原料A和原料B的量分别为5盒10盒…若甲纪念品每套可获利700元…乙纪念品每套可获利1200元…该厂购进A…B原料200盒和300盒…问该厂生产甲…乙两种纪念品各多少套能使利润最大…最大为多少

Answer 1

LS你太简单粗暴了！

生产甲x1套、乙x2套
s.t.
4x1+5x2<=200
3x1+10x2<=300
x1、x2>=0

目标函数：Maxy=700x1+1200x2

由于是双变量，平面法就行了
函数图像，x2y轴，x1为x轴
围成三角形AOB、COD，A（0，40）、B（50，0）、C（0，30）、D（100，0）
AB、CD交点为E，E(20,24)
解集AOB和COD围成的图形，也就是多变形CEBO

取多边形顶点坐标代入目标函数
y=20*700+1200*24=42800
或
y=0+1200*30=36000
或
y=50*700+0=35000

无疑，Maxy=42800，此时x1=20、x2=24

PS.这是标准的运筹学流程，LS的解法太粗暴啊，直接求三角形斜边的点，要知道假如利润函数P的斜率很高或者很低（将P视作常数，把利润函数在平面上移动，可以看到就是解集中让P函数距离原点最远的那个点达到最大值），它完全有可能在CE或者BE直线上，所以以偏概全了

举例，利润函数P=1*x1+100000*x2
明显是x2越大越好...找楼上的解，不是死路一条

Answer 2

假设生产甲 x 套, 乙 y 套, 则有
(1) 4*x + 5*y ≤ 200
(2) 3*x + 10*y ≤ 300
(3) 利润 P = 700*x + 1200*y

将1，2中的不等号换为等号，求出 x=20, y=24.

最大利润 = 700*20 + 1200*24 = 42800 (元)