Question

怎么用换元法求∫sec^3(x) dx

Answer 1

对于不定积分∫sec^3(x) dx，由于并没有简单的标准公式，所以处理它通常需要使用一些高等数学的技巧，具体而言，我们要使用分部积分和三角恒等式。

首先，我们将∫sec^3(x) dx 分解为 ∫sec x · sec^2(x) dx。然后让 u=sec x，dv=sec^2(x) dx。这样我们可以用分部积分法进行计算，按照分部积分公式 ∫udv = uv - ∫vdu。

我们得到如下的结果：

= sec(x)·tan(x) - ∫ tan^2(x)·sec(x) dx
= sec(x)·tan(x) - ∫ [sec^2(x) - 1]·sec(x) dx
= sec(x)·tan(x) - ∫sec^3(x) dx + ∫sec(x) dx

然后你有了一个式子∫sec^3(x) dx = sec(x)·tan(x) - ∫sec^3(x) dx + ∫sec(x) dx。

解这个等式得：

2∫sec^3(x) dx = sec(x)·tan(x) + ∫sec(x) dx
∫sec^3(x) dx = 1/2 [sec(x)·tan(x) + ∫sec(x) dx]

其中，∫sec(x) dx是一个标准的积分，解为 ln|sec(x)+tan(x)|。

所以最后的结果为：

∫sec^3(x) dx = 1/2 [sec(x)·tan(x) + ln|sec(x)+tan(x)|] + C，

其中 C 是常数。