Question

已知函数f(x)=sinx/2cosx/2+cos^2(x/2)-1/2

f(x)=sin(x/2)cos(x/2)+cos^2(x/2)-(1/2)
=(1/2)×sinx+(1/2)×(cosx+1)-(1/2)
=(1/2)×(sinx+cosx)
=(√2/2)×sin(x+(π/4))
(1)若f(a)=√2/4=(√2/2)×sin(a+(π/4))
则sin(a+(π/4))=1/2，a+(π/4)=2kπ+(π/2)±((2π)/3)；
又a∈(0,π),则a=π/12或(5π)/12；

为什么(1/2)×(sinx+cosx)
=(√2/2)×sin(x+(π/4))
为什么还要乘以（1/2）*√2*（1/2）啊

Answer 1

这个简单
(1/2)×(sinx+cosx)
=（1/2）*√2*（1/√2）（sinx+cosx）
=（√2/2）（√2/2*sinx+√2/2*cosx）

而sin（π/4）=cos（π/4）=√2/2
所以就变成了
上式=（√2/2）（cos（π/4）*sinx+sin（π/4）*cosx）
根据和角公式
Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA
这里A=x，B=π/4
于是有结果
上式=(√2/2)×sin(x+(π/4))

因为我提了个根号2出来,但是笔误少加一个根号，应该没那么难看出来吧Orz....已经修正了

Answer 2

sinx+cosx=√2*[sinx(√2/2)+cosx(√2/2)]=√2*[sinxcos(π/4)+cosxsin(π/4)]=√2*sin(x+(π/4)