Question

一道立体几何题

1.如图，边长为a的正三角形ABC，PA⊥平面ABC，PA=a，QC⊥平面ABC，DC= a/2，求平面PQB与平面ABC所成的角.

Answer 1

你这个问题是求二面角，一般我们应该找到这两个平面的交线，即二面角的棱。条件里应该是QC=a/2吧，如果是这样的话，那么延长PQ,就像你图里所画的，使AC与PQ相交于F，那么直线BF就是平面PQB（平面PBF)与平面ABC的交线；由已知可得PA//QC，那么由三角形相似，可知AC=FC=BC,那么可知三角形ABF是直角三角形（有这样一个定理：如果一个三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形）,故AB垂直BF,由三垂线定理可知，PB垂直BF，故角PBA就是所求的平面PQB与平面ABC所成的二面角的平面角，易知其大小为45°。

Answer 2

∵QC⊥平面ABC
PA⊥平面ABC
∴QC平行PA
∴QC/PA＝FC/FA＝1/2
∴FC/AC=1/1即FC=AC＝BC＝1/2AF
∴△ABF为Rt△，且∠ABF＝90°

在Rt△QCF中，QF²=CQ²+CF²
在Rt△QCB中，QB²=CQ²+CB²
∵CF=CB=a
∴QF=QB
由平行可得QF=QP
∴BQ=QP=QF=1/2PF
∴△PBF为Rt△
且∠PBF=90°
∴平面PQB与平面ABC所成的角
即∠PBA=45°

Answer 3

解：分别延长PQ、AC交于点F，连接BF
则：BF为面PQB与面ABC的交线
∵PA⊥平面ABC，QC⊥平面ABC
∴QC‖PA
∵PA=a，QC=a/2
∴FC/FA=QC/PA=1/2
∴FC=AC=BC=AB=a
∴AB⊥BF
∵BF⊥PA
∴BF⊥面PAB
∴∠PBA等于面PQB与面ABC所成的角
∵PA⊥AB，PA=AB=a
∴∠PBA=45°
∴面PQB与面ABC所成的角为45°

Answer 4

向量法：
以A为原点，AC方向为y轴正方向建立空间直角坐标系
平面PQB的横截距2a/根号3,纵截距2a,竖截距a，
根据平面截距式方程，平面PQB的方程为：(根号3/2a)x+y/2a+z/a=1
所以平面PQB法向量为（根号3/2a,1/2a,1/a）,即 （根号3，1，2）
因为平面ABC法向量为（0，0，1）
所以可求得二面角为45度

用普通的高中方法求平面PQB的法向量也可以