高一数学题。求解答过程。 15
已知集合A={x||x-a|<ax,a>0},若函数f(x)=sinπx-cosπx在A上单调递增,则求a的最大值。...
已知集合A={x||x-a|<ax,a>0},若函数f(x)=sinπx-cosπx在A上单调递增,则求a的最大值。
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解不等式|x-a|<ax:
∵a>0,∴x>0①;
|x-a|^2<a^2·x^2
当a=1时,|x-1|^2<x^2
x^2-2x+1<x^2;
x>1/2;
与①联立,x>1/2
不能保证f(x)=sinπx-cosπx在A上是增函数;
当a≠0时,a/(1-a)<x<a/(1+a);
1)当a<1时,与①联立,a/(1-a)<x<a/(1+a);
2)当a>1时,与①联立,0<x<a/(1+a);则x<a/(1+a)<1.
现在我们看a>1时的情况.
f(x)=sinπx-cosπx=√2sin(πx-π/4)
0<x<a/(1+a),则-π/4<πx-π/4<[3π/4-π/(1+a)]
则需要3π/4-π/(1+a)≤π/2
∴a≤3
a<1的情况自然就不用讨论了,因为a的最大值是3.
∵a>0,∴x>0①;
|x-a|^2<a^2·x^2
当a=1时,|x-1|^2<x^2
x^2-2x+1<x^2;
x>1/2;
与①联立,x>1/2
不能保证f(x)=sinπx-cosπx在A上是增函数;
当a≠0时,a/(1-a)<x<a/(1+a);
1)当a<1时,与①联立,a/(1-a)<x<a/(1+a);
2)当a>1时,与①联立,0<x<a/(1+a);则x<a/(1+a)<1.
现在我们看a>1时的情况.
f(x)=sinπx-cosπx=√2sin(πx-π/4)
0<x<a/(1+a),则-π/4<πx-π/4<[3π/4-π/(1+a)]
则需要3π/4-π/(1+a)≤π/2
∴a≤3
a<1的情况自然就不用讨论了,因为a的最大值是3.
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