Question

高等数学同济大学第6版第49页第4大题第4小题，课后的答案看不懂，求高手指教？

limbn.cn的极限为什么不存在？按标准答案“如果limbn*cn的极限存在，则lim（bn*cn）*（1/limbn)也存在，与已知条件矛盾”
怎么就矛盾了？和哪里矛盾了？我怎么看也不矛盾啊

Answer 1

你好，最近我也正奇怪这道题的答案，但是突然发现自己少了一个常识。
无穷大是不属于极限存在的这种情况，这是同济六版40页的原话“当x→x0时的无穷大的函数f（x）,按函数的定义来说，极限是不存在的。但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说‘函数的极限是无穷大。’”
在题目中，显然如果lim bn cn存在，那么会有答案的分式存在，进而推导出lim bn cn =∞,所以极限不存在，与假设lim bn cn存在矛盾，故lim bn cn 不存在，证毕。

Answer 2

我没有看到答案。
举个例子可知 lim<n→∞>bnCn 不存在。
例如 lim<n→∞>bn = lim<n→∞>nsin(1/n) = lim<n→∞>sin(1/n)/(1/n) = 1,
lim<n→∞>bn = lim<n→∞>e^n = +∞
则 lim<n→∞>bnCn = lim<n→∞>bn * lim<n→∞>Cn = +∞ ， 极限不存在