Question

一道三角函数题

已知A,B∈(0,π),且tan(A-B)=1/2,tanB=-(1/7),求2A-B的值
要有步骤
不需要进一步缩小角的范围吗，比如b∈（90,145),a∈[145,180),我是这么想的

Answer 1

(1)先缩小角的范围，这是关键的一步：
∵tanB=-1/7∈(-√3/3,0),B∈(0,π). ∴5π/6<B<π.
∵tanA=tan((A-B)+B)=(tan(A-B)+tanB)/(1-tan(A-B)tanB)=(1/2-1/7)/(1+1/2×1/7)=1/3∈(0,√3/3)，
且有A∈(0,π). ∴0<A<π/6.
于是0<2A<π/3，又有5π/6<B<π ∴-π<2A-B<-π/2
(2)求三角函数值
由tan(A-B)=1/2可得tan2(A-B)=2 tan(A-B)/(1- tan(A-B)²)=4/3
∴tan(2A-B)=tan(2(A-B)+B)=( tan2(A-B)+tanB)/(1- tan2(A-B)tanB)
=(4/3-1/7)/(1+4/3×1/7)=1
而由（1）知：-π<2A-B<-π/2
∴2A-B= -3π/4.

Answer 2

tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) =1/2,tanB=-(1/7),
所以tanA=1/3
因为tan（2A-B）=(tan2A-tanB)/(1+tan2AtanB)
而tan2A=（2tanA）÷（1-tan^A）=3/4，
所以tan（2A-B）=(tan2A-tanB)/(1+tan2AtanB）=1，
因为A，B∈(0,π),
所以2A-B=-3π/4或π/4或5π/4

Answer 3

解
因为tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) =1/2 且tanB=-(1/7)
所以tanA=1/3
所以tan（2A-B）=tan【A+（A-B）】=【tanA+tan（A-B）】/【1-tanAtan（A-B）】=（1/3+1/2）/（1-1/6）=1
所以（2A-B）=π/4或5π/4或-3π/4