Question

数学函数！！！急！！

定义在R生的奇函数F(X)有最小正周期2.且当X∈（0，1）时，F(X)=(2^X)/(4^X+1)
（1）求F(X)在【-1，1】上的解析式
（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数

Answer 1

1、f(x)为奇函数，于是当x∈（0，1）时，f(-x)=-f(x)=-(2^x)/(4^x+1)

将-x换成x，即当x∈（-1，0）时，f(x)=-[2^(-x)]/[4^(-x)+1]=-(2^x)/(4^x+1)

所以f(x)在(-1,1)上的解析式为

(2^x)/(4^x+1) x∈（0，1）
-(2^x)/(4^x+1) x∈（-1，0）

2、设a，b为（0，1）上任意两数且满足a<b

f(a)-f(b)
=(2^a)/(4^a+1)-(2^b)/(4^b+1)
=[(2^a)(4^b+1)-(2^b)(4^a+1)]/[(4^a+1)(4^b+1)]
=[2^(a+b)×(2^b-2^a)+2^a-2^b]/[(4^a+1)(4^b+1)]
=(2^(a+b)-1)(2^b-2^a)/[(4^a+1)(4^b+1)]

由于a>0,b>0,于是2^b>0,2^a>0,a+b>0,2^(a+b)>1

于是f(a)>f(b)

故f(x)在（0，1）上是减函数